ニガテ意識を克服する！一点突破学習「場合の数」～トップアスリートに学ぶ”秒”の思考～｜ Stacky スタッキー〜子どもたちの学習効果UPをねらうブログ〜

みなさん、こんにちは！スタッキーです。
学習を進めているとニガテ意識が生まれることはありませんか？

わが家では「場合の数」がその危機にあり、テストのたびにイヤな気持ちになっていました。
しかし、頻出分野なら尚更しっかり理解してサクサク問題をときたいと思いませんか。

今回は、わが家で実施した一点突破学習「場合の数」についてお伝えしたいと思います。

スタッキー

この記事は次のような人におすすめ！
・問題用紙を「樹形図」でびっしり埋めつくすわが子を救いたい　　　　　　　
・テキストの知識だけで問題がトケルという迷信を捨てられる
・多くの子どもがニガテ意識を持つこの分野を絶対領域にかえたい
・成功体験の蓄積がトップレベルの判断力を生むと信じている　　　　　　　　　　

論理的思考で「場合の数」に取り組みたいと考えている方は必見です！
それではどうぞ！

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わたしが「場合の数」にニガテ意識を持つまで

小さな数字と樹形図がもたらす悪夢

和の法則、積の法則、順列、組合せ、樹形図、ベン図、色々な知識があることは分かります。
しかし、どの知識をどのような状況で適用すべきなのかという本質はあまり説明されません。

このような状況にあって、塾や学校の授業に圧倒的な回数登場するのが「樹形図」です。
その結果、子どもに「場合の数＝樹形図」というなぞの思考回路が形成されていきます。

小さな数字で教える授業ではすべてのパターンを樹形図で書き出せるので問題に気づきません。

しかし、試験会場で目にする問題は数字が「樹形図」でどうにかなるレベルではないのです。
そして、暗黒の司令塔から聞こえる「樹形図」という言葉に従って地獄の写経がはじまります。

ふと気づけば、問題用紙はあっという間に「数字」と「棒」と「涙」で埋まるのです。
かしこい子は本当にこんなことをやっているのだろうか？それがわたしの感じていたことです。

問題のバリエーションが打ち砕く自信

場合の数がニガテであっても特定のパターンの問題にはなれてくることがあります。

たとえば、低学年のころから試験に登場する数字のカードや経路の問題です。
しかし、そんな自信をいとも簡単に打ち砕くほど「場合の数」はバリエーションが豊富です。
そして、出題者は学習中に出会わなかった問題をあざわらうように狙い撃ちしてきます。

【スタッキー】わたしが「場合の数」にニガテ意識を持つまで_「場合の数」はバリエーションが豊富

１つ潰しても次が、また１つ潰しても次が、とやっている内に遂にニガテ分野になりました。
このようなドロ仕合から抜け出せるのなら、多少の苦労はしてもよいと思ったものです。

なぜなら、場合の数はレベルの高い試験に100%登場するといっても過言ではないからです。
今になって考えると最初に解法が頭に浮かばない時点で負けていた気がします。
そこで、「秒で解法をみつけられないか」と考えたのです。それがこの実験の主旨です。

シンプルな考え方で「場合の数」を理解する

ムリに小学生に合わせた公式を捨てる

まずは、重要な２つの概念「並べ方＆選び方」をイメージで理解してみることにしました。
ただし、小学生の学習範囲にあわせた覚えにくい公式はできるだけ排除することにしました。

理由は「N」だらけの公式が図形等にも登場し、覚えても混ざるのが目に見えていたからです。
公式という危うい知識を排することは、スコアを確実に上げるために良いとも思いました。

並べ方（P）：いくつかのものを順序を考えて並べたもの（区別する）

選び方（C）：並べる順序を考えずに選んで一組にしたもの（区別しない）

並べ方＆選び方の区別

問題の区別に応じて上記の知識を適用できるか、１問ずつ確認していくことにしました。
この段階ではトケル必要はなく「並べ方」か「選び方」かを区別できればOKとしました。
なぜなら、この判別を間違うともはや後の工程をいかにがんばっても答えが合わないからです。

いくつかの問題を切り抜いてカード形式で質問を繰り返していきます。
何回かやってみると本人も特徴のつかみ方に慣れてくるようです。

ボヤッキー

自分が今までわからなかったことが今回の説明で解き明かされていくイメージ
入れ替えたら違うものは、区別アリの（P）だよね

スタッキー

たぶん、あってます。たぶん。

前提条件の処理方法を整理してみる

次は問題の難易度を引き上げている要素の１つ「前提条件」を理解していくことにしました。
オーソドックスな並べ方＆選び方の問題も前提条件が変わると急激にムツカシさを感じます。

そして、対処法を知らなければ、あっという間に「樹形図地獄」に引きずり込まれるのです。
この壁を乗り越えるため、出会った問題に含まれる条件を書き出すことにしました。

前提条件の処理方法をメモする

「～が隣り合う」：～を含むカタマリの中を考える、カタマリと他の要素を考える
「～が隣り合わない」：～ではない要素を固定してスキマを考える
「特定の～を選ぶ」：～を除いて考える
「少なくとも～」：全体からすべて～でない場合を引く
「同じものを含む」：区別できないものは並びが関係なくなるのでN!で割る
「重複を許して～」：選択肢が減らないので階乗ではなく累乗になる
「重複を許して～、選ばれないものがあってもよい」：仕切りを使って考える
「モノ・ハコの区別なし、個数不定」：すべて書き出す

この活動で並べ方や選び方がどうしてむつかしくなるのかが少し分かってきました。
なぜなら、似た問題でも解き方がまったく異なるという事実を知ったからです

ココでは、問題文から上記のパターンを特定して発話するトレーニングを行いました。
具体的には、問題文を数秒見せて即座に上記のパターンを言い当てるというものです。

言い当てる際は、トナリアウ、トクテイなどの呼びやすいあだ名をつけてみました。

問題のバリエーションと注意事項を知る

これまでの学習でオーソドックスな並べ方と選び方の問題に免疫力がついてきたと思います。
今度は、問題のバリエーションに慣れていきましょう。

ココでは最短経路の問題を例に実験の概要をお伝えしたいと思います。
最短経路の問題には、主に平面と立体の２種類が存在します。

基本的には、たて（↑）・よこ（→）・たかさ（↗）などの矢印をすべて並べるものです。
しかし、同じ矢印の組合せは１つと数えるため、重複を排除する必要があります。

並べ方について反復練習を重ねたのは、このような問題を理解できるようにするためです。
最短経路の問題には主に２つの条件があります。

特定の点を「経由」するパターンと「工事」で特定の経路が通過できないパターンです。
経由のパターンでは、経路を次のように２つに分割して考えていきます。

上記の２つの経路の並べ方を積の法則によってかけ合わせて最終的な経路をみちびきだします。
工事のパターンでは、工事箇所を通過する経路に着目して考えていきます。

そして、全体の経路から工事で通過できない経路を引いて最終的な経路をみちびきだします。
前述の方法とは別のアプローチにも触れておきたいと思います。

それが、図上の点で経路を足し合わせて書き込んでいく「書き込み方式」です。
この方法は、図の形状が複雑かつ時間に余裕があるときに有効な方法と言えます。

平面の場合は、丁寧に矢印を引きながら数字を合計していけば最終的な経路を求められます。
立体の場合は、図に数字を書き込むとミスが生じやすいので各層を分割した図を用意します。

そして「層」ごとに数字を書き込んでいきます。これがミス防止のポイントです。
理由は、図形に数字を書き込むと単純に数字がごちゃごちゃしてくるからです。
ココまでに登場した出題パターンを整理すると、全体としては６パターンあります。
学習方法は、平面（基本→経由→工事）、立体（基本、経由、工事）とするのがよさそうです。

今回は問題のパターンを言い当ててから問題をトクというステップを踏みます。
問題自体は、テキストと問題集から選定して共通する特徴でグループ化してみました。